derivadas susesivas

Derivadas Sucesivas (Derivada de Orden Superior).

Hasta ahora, se ha estudiado la derivada de una función, ó, la primera derivada de una función, ó la derivada de primer orden de una función.  Muchas veces, interesa el caso, en el cual la función derivada f’(x), se puede derivar nuevamente en un intervalo I, obteniéndose de esta forma la segunda derivada de la función. Es decir, si existe,  , se llamará: la segunda derivada de f, o también, la derivada de segundo orden y se denotará por cualquiera de los símbolos:  .  Igualmente, se puede analizar si f’’ es derivable, en cuyo caso, se llama a la función resultante: la tercera derivada de f, ó, la derivada de orden 3 y que se denotará por:  .  Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no, de la derivada n-ésima o la derivada de orden n de f, la cual se denotará por:  .  Observación:  Todas estas notaciones se extienden a las llamadas: derivadas de orden superior. Observe que aunque la notación de Leibnitz para las derivadas es complicada  resulta  ser la mas apropiada y natural, al menos asi lo pensaba él al escribir:  como  como

Ejemplos:

Dada la función obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

a)

para la primera derivada obtenemos:

  a)  

obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:

al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos

como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior.

c) Si entonces:

y

d) Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Ejemplos para resolver en clase: Calcular la derivada que se pide.

1. Calcular de

2. Calcular de

TAREA: Calcular la derivada que se pide:

1. , calcular

2. , calcular

3. , calcular