intervalos he desigualdades

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

a

b

+ ∞

- ∞

 

El segmento  se llama intervalo.

CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS

Ø  Abierto en ambos extremos

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

b

+ ∞

- ∞

 

Ø  Cerrado en ambos extremos

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

b

+ ∞

- ∞

 

Ø  Semiabierto por la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

b

+ ∞

- ∞

                                                                                                                                                                                                                                           

Ø  Semiabierto por la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

b

+ ∞

- ∞

 

Ø  Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

+ ∞

- ∞

 

Ø  Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

+ ∞

- ∞

 

Ø  Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

+ ∞

- ∞

 

Ø  Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

En forma de conjunto: =

Representación Gráfica:

a

+ ∞

- ∞

 

DESIGUALDAD

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son > que se lee mayor que, y < que se lee menor que. 5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee - 4 menor que - 2.

Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es positiva. Así, 4 es mayor que - 2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 es positiva; - 1 es mayor que - 3 porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva.

Una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa: así, - 1 es menor que 1 porque la diferencia - 1 - 1 = - 2 es negativa: - 4 es menor que - 3 porque la diferencia - 4 - (- 3) = - 4 + 3 = - 1 negativa.

Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto 0 es mayor que - 1 porque 0 - (- 1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.

El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c - d el primer miembro  es  a + b  y  el  segundo c - d .

Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo + ó -, o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y - d .

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores que los segundos. De este modo, a > b y c > d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son mayores o menores que los segundos. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:

a + c > b + c          y               a - c > b - c

En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

En la desigualdad a > b + c  se puede pasar c al primer miembro con signo negativo quedando a - c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a - b > c , se puede pasar b con signo positivo al segundo  miembro  y  quedando a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros.

 

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, puede escribirse:

Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Si en la desigualdad a > b se multiplica ambos miembros por - c , se tiene:

- ac < - bc

Si se divide por - c , o sea multiplicando por  , se tiene:  

Al cambiar el signo a todos los términos, es decir, a los dos miembros de una desigualdad, el signo de ésta varía porque equivale a multiplicar los dos miembros  de  la  desigualdad por - 1. Si en la desigualdad a - b > - c cambiamos el signo a todos los términos, se tiene:

b - a < c

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es evidente que b < a

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

Siendo a > b se tiene que  

6) Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 5 > 3  y  elevando  al  cuadrado: 5² > 3² o sea 25 > 9

 

7) Si los dos miembros o sólo uno es negativo y se eleva a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Siendo - 3 > - 5 y elevando al cubo (- 3)³ > (- 5)³ o sea - 27 > - 125

Siendo 2 > - 2 y elevando al cubo 2³ > (- 2) o sea 8 > - 8

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia.  Siendo - 3 > - 5 y elevando al cuadrado (- 3)² = 9 y (- 5)² = 25 y queda 9 < 25.

9) Cuando un miembro es positivo y otro negativo, y ambos se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

Siendo 3 > - 5 y elevando al cuadrado 3² = 9 y (- 5)² = 25 y queda 9 < 25 (cambia el signo)

Siendo 8 > - 2 y elevando al cuadrado 8² = 64 y (- 2)² = 4 y queda 64 > 4 (no cambia el signo)

10) Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

a > b y n es positivo, se tiene:

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro por miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Si a > b   y    c > d , se tiene:

                              

12) Cuando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por miembro, el resultado no necesariamente será una desigualdad del mismo signo, pues, puede ser una igualdad.

En 10 > 8 y 5 > 2, restando miembro por miembro:         (cambia de signo)

Al dividir miembro por miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos

   (resulta una igualdad)