funsiones

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional está formada por la división de dos funciones polinomiales. 

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador,        n < m.

Y se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador,      n ≥ m.

Para las funciones racionales propias, el dominio es el conjunto de todos los reales  excepto los valores de x  que hacen cero al denominador.   Su contradominio requiere analizarse en  cada caso.

Ejemplo 1.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 3.  Esta función racional es propia.

Ejemplo 2.

Sea la función

el grado del polinomio del numerador es  n = 2  y el del denominador es  m = 1.  Esta función racional es impropia.   Toda función racional impropia se puede reescribir como  la suma de un cociente y un residuo; éste último es una función racional propia:

Gráfica de una función racional propia.

Una función racional propia puede presentar intersección con el eje y (ordenada al origen) e intersecciones con el eje x (raíces). 

Para encontrar la ordenada al origen se le da a x el valor de cero y se obtiene el valor de f(x). 

Las raíces se buscan dando a  f(x) el valor de cero y despejando x.

Ejemplo 3.

Sea la función

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

e igualamos la función a cero para obtener la raíz

Ejemplo 4.

Considere la función

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

e igualamos la función a cero para obtener la raíz

Ejemplo 5.

Sea la función

es función racional propia porque el grado del numerador  n = 0  es menor que el del denominador  m = 1.

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

Igualamos la función a cero para obtener la raíz

y llegamos a una contradicción.   Esto implica que no hay ningún valor de  x  tal que la función valga  cero, es decir, no tiene raíces.

Por inspección se ve que la función no está definida cuando  x = -1.

Para aclarar el comportamiento de la función recurrimos a una representación tabular:

x	f(x)
-100	-0.0303
-10	-0.3333
-1.01	-300
-1
-0.99	300
0	3
10	0.2727
100	0.0297

En la tabla se ve que para valores de x cada vez más grandes ,  los valores de  f(x) son cada vez menores acercándose a cero .   Para valores de  x  cada vez mas negativos , los valores de  f(x) también se acercan a cero.   Este comportamiento de la función se dice que es asintótico al eje x.

También se observa que si nos acercamos  a   x = -1,  los valores de f(x) son cada vez mayores, ya sea positivos (por la derecha) o negativos (por la izquierda).  Otra vez, el comportamiento de la función es asintótico a  x = -1.  

La representación gráfica es la siguiente:

El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, excepto x = -1, y el contradominio es el conjunto de todos los reales, excepto y = 0.

Una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente cuando x  ó f(x) tienden a infinito. Hay asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

En las funciones racionales propias, el eje x es asíntota horizontal cuando x  tiende a infinito.

En las funciones racionales propias, de manera práctica lo que se hace para encontrar las raíces es igualar el numerador a cero y resolvemos. Para encontrar las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y resolvemos.

Ejemplo 6.

Sea la función

es función racional propia porque el grado del numerador  n = 1  es menor que el del denominador  m = 2.

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

Igualamos el numerador a cero para obtener la raíz

Para obtener las asíntotas verticales, se iguala el denominador a cero

Tenemos entonces una función con ordenada al origen en , una raíz en x = -3, y dos asíntotas verticales en x₁ = -1, y x₂ = 2. La asíntota horizontal es el eje x cuando éste tiende a infinito.

La representación tabular nos auxilia en entender el comportamiento gráfico de la función alrededor de las asíntotas verticales y de la raíz:

x	f(x)
-4	-0.056
-1.05	12.787
-0.95	-13.898
1.9	-16.896
2.1	16.452
5	0.444

La representación gráfica de la función es:

El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, excepto x₁ = -1 y x₂ = 2, ¿Cuál es el contradominio?.

Debido a la escala, no queda clara la raíz, por lo cuál se muestra a mayor detalle:

Ejemplo 7.

Sea la función

es función racional propia porque el grado del numerador  n = 2  es menor que el del denominador  m = 3.

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

Igualamos el numerador a cero para obtener las raíces

Para obtener las asíntotas verticales, se iguala el denominador a cero

Tenemos entonces una función con ordenada al origen en   f(x) = -3, dos raíces en x₁ = -3, y  x₂ = +5, dos asíntotas verticales en  x₃ = -5,  x₄ = x₅ = -1. La asíntota horizontal es el eje x cuando éste tiende a infinito.

La representación tabular nos auxilia en entender el comportamiento gráfico de la función alrededor de las asíntotas verticales y de la raíz:

x	f(x)
-5.1	-12.617
-4.9	12.367
-1.5	-11.143
-0.6	-19.091
4	-0.031
6	0.017

La representación gráfica de la función es:

El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, excepto x₁ = -5 y x₂ = -1, y el contradominio es el conjunto de los reales .

Observe el efecto de la multiplicidad de los ceros del denominador en el comportamiento de la función alrededor de las asíntotas verticales.

Debido a la escala, no queda clara la raíz, por lo cuál se muestra a mayor detalle:

Ejemplo 8.

Sea la función

es función racional impropia porque el grado del numerador  n = 1  es igual que el del denominador  m = 1. Es decir, esta función también se podría escribir de la forma

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

Igualamos el numerador a cero para obtener las raíces

Para obtener las asíntotas verticales, se iguala el denominador a cero

x +3 = 0

x₂ = -3

Tenemos entonces una función con ordenada al origen en , una raíz en , una asíntota vertical en x₂ = -3.

En el caso de esta función impropia, la asíntota horizontal es f (x) = 4 cuando x tiende a infinito.

La representación gráfica de la función es:

El dominio de esta función es el conjunto de los reales, excepto x = -3 y  el contradominio es el conjunto de los reales excepto  y = 4.

En las funciones racionales, las asíntotas verticales se generan a partir de las raíces del denominador;  cuando estas raíces no tienen multiplicidad, o tienen multiplicidad impar, la función tiende a  infinito positivo  de un lado de una asíntota vertical, y del otro lado tiende a infinito negativo . Cuando la multiplicidad de las raíces es par, la función se comporta igual a ambos lados de la asíntota vertical.