COORDENADAS CARTESIANAS
Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada.
En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.
Sistema de coordenadas plano.
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
OA = xA · i + yA · j ≡ (xA, yA)
= A
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
dAB = [(xB - xA)2
+ (yB - yA)2]1/2
aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
AB = (xB - xA)
· i +
(yB - yA) · j
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.
Sistema de coordenadas espacial.
Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z<0 y z>0.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
OA = xA · i + yA · j + zA · k ≡ (xA, yA,
zA) = A
dAB = [(xB - xA)2
+ (yB - yA)2 + (zB - zA)2]1/2
AB = (xB - xA)
· i +
(yB - yA) · j
+ (zB - zA) · k
Cambio del sistema de
coordenadas.
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).
Traslación del Origen.
Suponiendo que en el sistema de coordenadas inicial con origen en O las coordenadas de un punto como el A sean (xA, yA), y que el origen se traslade a O' (xO, yO); las coordenadas del punto A, respecto del sistema trasladado serán:
OA = OO' + O'A
despejando
O'A = OA - OO' = (xA,
yA) - (xO, yO) = (xA - xO,
yA - yO)
por tanto
x'A = xA - xO
y'A = yA - yO
z'A = zA - zO
(en el caso espacial)
Rotación alrededor del origen.
Supongamos ahora, que el nuevo sistema de coordenadas, ejes x' e y', resulta del giro del primitivo (x,y) un cierto ángulo α alrededor del origen de coordenadas.
Dado que los triángulos rectángulos sombreados son semejantes, a partir de las relaciones trigronométricas entre sus lados, fácilmente podemos obtener las nuevas coordenadas:
Del triángulo Ox'A1; x'A
= 01 · cos α = (xA + xA1) · cos α
Del triángulo AxA1; xA1
= yA · tg α
Sustituyendo en la primera ecuación:
x'A = (xA + yA
· tg α) · cos α = xA · cos α + yA · sen α
Operando de forma análoga con los triángulos 0y'A2 y AyA2, obtendríamos, como fácilmente se puede demostrar:
y'A = - xA · sen α + yA
· cos α
Expresando matricialmente el cambio de coordenadas:
{OA'} = [T] {OA}
Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.
Las Coordenadas son grupos de números que describen
una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en
el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son
sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de
la Tierra o en el globo de los cielos.
Coordenadas en el plano
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René
Descartes |
El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas,
basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido con el nombre
de René Descartes ("De-cart"), un científico y filósofo
francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada
punto en el plano por medio de dos números. Puede
que esto ya
le sea familiar a usted.
El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"),
perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto
donde se juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen
y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como
negativos (vea el dibujo abajo).
Las gráficas usan ese sistema, al igual que algunos
mapas.
Funciona bien en una hoja de papel plana, pero el mundo
real es tridimensional y a veces es necesario designar los puntos en dicho
espacio tridimensional. El sistema cartesiano (x, y) puede extenderse hacia las
tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada z. Si (x, y) es un punto en
una hoja, entonces el punto (x, y, z) en el espacio se consigue situándose en
(x, y) y elevándose una distancia z sobre el papel (los puntos por debajo del
papel tienen z negativa).
Es simple y claro, una vez que se toma la decisión de en
qué lado de la hoja es positiva z. Por común acuerdo, las ramas positivas
de los ejes (x, y, z), siguen el pulgar y los dos primeros dedos de la mano derecha,
en el mismo orden, cuando se extienden de tal forma que formen el mayor ángulo
entre ellos.
Fuente:
http://www.phy6.org/stargaze/Mcelcoor.htm
Gradiente
La derivada
direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector
unitario
y el vector
Este vector es
importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f.
Definición 1.2
|
Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que
se denota mediante
Otra notación para el gradiente es grad
f(x,y)
|
Puesto que el
gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en
la dirección de u como
En otras
palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el
vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del
siguiente teorema.
Teorema 1.2
|
Si f es una
función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la
dirección del vector unitario u es
|
Calcular la
derivada direccional de en (-1,3) en la dirección
que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)
Solución
Un vector en la dirección
especificada es
y un vector unitario en
esta dirección es
Como
, el gradiente (-1,3) es
En consecuencia, en (-1,3)
la derivada direccional es
Ya hemos visto
que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En
muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que
f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima
pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema 1.3.
Aplicaciones del gradiente
|
Si f es una función diferenciable en el
punto (x,y)
1) Si
2) La
dirección de máximo crecimiento de f viene dada por
El
valor máximo de
3) La
dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por -
El
valor mínimo de
|
Como
ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura T(x,y) en un
punto (x,y) cualqueira de una placa metálica plana. En este caso, grad T
da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (x,y), como
se señala en el ejemplo 1.4.
Ejemplo 1.4
La temperatura,
en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por
midiendo x e y
en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura
más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?
Solución
El gradiente es
Se sigue que la
dirección de más rápido crecimiento viene dada por
como se muestra en la
figura 5.5, y que la razón de crecimiento es
Curvas de nivel
figura 1.5
Dirección de más rápido crecimiento en (2,-3)
La solución que
se presenta en el ejemplo 1.4 puede resultar engañosa. A pesar de que el
gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura,
no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras
palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar
un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, -3). Una vez que
abandonamos esa posición, la dirección de más rápido crecimiento puede cambiar.
Ejemplo 1.5
Solución
Representaremos la
trayectoria por la función posición
Un vector tangente en cada
punto (x(t),y(t)) viene dado por
Puesto que la partícula
busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de
son las mismas en cada
punto de la trayectoria. Luego
Estas
ecuaciones diferenciales representan un crecimiento exponencial y las
soluciones son
Como la
partícula parte de (2,-3) se sigue que 2=x(0)=C1 y -3=y(0)=C2. Luego la trayectoria se representa mediante
Eliminando el parámetro t,
obtenemos
Mostramos esta trayectoria
en la figura 1.6.
figura 1.6
Camino seguido por una partícula que va hacia el calor
En la figura
1.6, la trayectoria de la partícula (determinada por el gradiente en cada punto)
aparece como ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto se clarifica
cuando consideramos el hecho de que la temperatura T(x,y) es constante sobre
una curva, de nivel dada. Luego en un punto arbitario (x,y) de la curva, la
razón de cambio de T en la dirección de un vector tangente unitario u es
0, y podemos escribir
u es un vector tangente
unitario. Puesto que el producto escalar de
y u es cero, deben ser ortogonales. Este
resultado se anuncia en el siguiente teorema:
Teorema 1.4
|
Si f es diferenciable en (x0,y0) y
normal a la curva de nivel que pasa por (x0,y0).
|
Ejemplo 1.6
Dibujar la curva de nivel correspondiente
a c=0 para la función
y encontrar vectores normales en diferentes puntos
de la curva.
Solución
La curva de nivel para c=0
viene dada por
como se indica en la figura
1.7. Como el vector gradiente de f en (x,y) es
figura 1.7
podemos utilizar el teorema
1.4 para concluir que es normal a la curva de nivel en
el punto (x,y). Algunos vectores gradientes son
Maximos y minimos en funciones de varias
variables
Teorema 2.1
|
Sea f una función continua de dos variables
x e y definida en una región acotada cerrada
R del plano xy.
|
Definición 2.1
|
Sea f una función definida en una región R
conteniendo el punto (x0,y0)
|
Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f significa que el punto
(x0,y0,z0) es al menos tan alto como los puntos de su
entorno en la gráfica de z=f(x,y). De forma similar, z0=f(x0,y0) es un mínimo relativo de f si (x0,y0,z0) está al menos tan bajo como los puntos de su
entorno en la gráfica.
Para localizar
extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su gradiente es cero
o no está definido. Llamaremos a tales puntos puntos críticos de f.
Definición 2.2
|
Sea f
definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos
que (x0,y0) es un punto
crítico de f si se verifica una
de las siguientes afirmaciones:
|
Recordemos del teorema 1.3 que
si f es diferenciable y
entonces toda
derivada direccional en (x0,y0) ha de ser cero. Eso implica que la función tiene
un plano tangente horizontal en el punto (x0,y0) como se ilustra en las figuras 2.3 y 2.4. Es
evidente que ese punto es candidato a que haya en el un extremo relativo.
figura 2.3
Máximo relativo
figura 2.4
Mínimo relativo
Teorema 2.2
|
Si f(x0,y0) es un
extremo realtivo de f en una región abierta R, entonces (x0,y0) es un punto
crítico de f.
|
Determinar los extremos
relativos de
Solución
Comenzamos buscando los
puntos críticos de f. Como
se hallan
definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos en que se
anulan ambas derivadas parciales primeras. Para localizar estos puntos,
anulamos fx y fy, y resolvemos el sistema
de ecuaciones
4x+8=0 y 2y-6=0
para obtener el
punto crítico (-2,3). Completando cuadrados, podemos concluir que para todo
(x,y) distinto de (-2,3),
Por lo tanto, hay un mínimo
relativo de f en (-2,3). El valor del mínimo relativo es f(-2,3)=3, como se
ve en la figura 2.5.
figura 2.5
El ejemplo 2.1
nos muestra un mínimo relativo para un tipo de punto crítico -aquel en que
ambas derivadas parciales primeras son nulas-. En el ejemplo 2.2 nos fijamos en
un máximo relativo que ocurre en el otro tipo de punto crítico -aquel para el
que las derivadas parciales primeras no existen-.
Ejemplo 2.2
Determinar los extremos
relativos de
Solución
Como
vemos que ambas
derivadas parciales están definidas en todo el plano xy, excepto en (0,0).
Además, este es el único punto crítico, ya que las derivadas parciales no
pueden anularse simultáneamente salvo que x e y sean nulos. En la figura 2.6
vemos que f(0,0)=1. Para cualquier otro (x,y) está claro que
Luego, f(0,0) es un máximo
relativo de f.
figura 2.6
fx y fy no están definidas en (0,0)
En este
ejemplo, fx(x,y)=0 para todo punto del
eje y, excepto (0,0). Sin embargo, como fy(x,y) no es nula, estos puntos no son puntos
críticos. Recordemos que una de las derivadas parciales debe no estar
definida o ambas deben anularse en caso de conducir a un punto
crítico.
El teorema 2.2
nos dice que para encontrar los extremos relativos necesitamos solamente
examinar valores de f(x,y) en puntos críticos. Sin embargo, al igual que se
cumple para una función de una variable, los puntos críticos de una función de
dos variables no siempre nos conduce a máximos o mínimos relativos. Algunos
puntos críticos conducen a puntos de silla, que no son ni máximos ni mínimos
relativos. Por ejemplo, el punto de silla que se muestra en la figura 2.7 no es
un extremo relativo, ya que en un disco abierto centrado en el (0,0) la función
toma ambos, valores negativos (sobre el eje x) y valores positivos (sobre el
eje y).
figura 2.7
Punto de silla en (0,0,0): fx(0,0=fy(0,0)=0
Para las
funciones de los ejemplos 2.1 y 2.2, es relativamente fácil determinar los
extremos relativos, ya que cada función fue, o bien dada o susceptible de
escribirse en forma de cuadrados perfectos. Para funciones más complicadas, los
argumentos algebraicos no son tan útiles, y dependemos de los medios más
analíticos que se introducen en el siguiente criterio de las derivadas
parciales segundas. Este es el criterio que en dos variables
corresponde al criterio de la segunda derivada para funciones de una variable.
Criterio de las segundas derivadas parciales
Teorema 2.3
|
Sea una
función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región
abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0. Para
determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la
cantidad
|
Si d > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo
signo. Esto significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras partes del criterio.
Una técnica apropiada para
recordar la fórmula de d en el criterio anterior viene dada por el determinante
siendo fxy(a,b)=fyx(a,b).
Ejemplo 2.3
Encontrar los extremos
relativos de
Solución
Comenzamos buscando los
puntos críticos de f. Puesto que
están definidas para todo x
e y, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas
parciales primeras son nulas. Para localizar estos puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero y obtenemos el
sistema de ecuaciones siguiente:
De la segunda ecuación
vemos que x=y, y sustituyendo en la primera obtenemos dos soluciones: y=x=0 e
y=x=4/3. Como
fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4
se sigue que para el punto
crítico (0,0),
y, por el criterio de las
derivadas parciales segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de silla de f.
Para el punto crítico (4/3,4/3),
y como
concluimos que
f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la figura 28.
figura 2.8
El criterio de
las derivadas parciales segundas puede fallar, a la hora de buscar los extremos
realtivos, de dos formas. Si una de las derivadas parciales primeras no está
definida, entonces no podemos usar el criterio. También si d = 0 el criterio no
es útil. En tales casos, debemos confiar en una gráfica o en algún otro tipo de
tratamiento, como se ve en el ejemplo 2.4.
Hallar los extremos
realtivos de
Solución
Como
vemos que ambas derivadas
parciales son nulas si x = 0 o y = 0. Es decir, todo punto de el eje x o del
eje y es un punto crítico. Como
vemos que si x = 0 o y = 0,
entonces
Luego el criterio de las
derivadas parciales segundas no decide. Sin embargo, como f(x,y)=0 para todo punto del eje x o
del eje y, y puesto que
>0 para los demás puntos, podemos concluir
que cada un de estos puntos críticos conduce a un mínimo absoluto, como se
muestra en la figura 29.
figura 2.9
Los extremos
absolutos se una función pueden producirse de dos formas. Primero, algunos
extremos relativos también son extremos absolutos. Así en el ejemplo 2.1,
f(-2,3) es un mínimo absoluto de la función. Por otra parte, el máximo relativo
encontrado en el ejemplo 2.3 no es un máximo absoluto de la función. Segundo,
pueden existir extremos absolutos en un punto del borde del dominio como se
verá en el ejemplo 2.5
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