derivasion de funsiones

RIVABILIDAD.

1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

2.- Derivadas laterales.

3.- Función derivada. Derivadas sucesivas.

4.- Reglas de derivación. Regla de la cadena.

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa  , al siguiente límite (si existe):

Ejemplo: Calcula  f '(2),  utilizando la definición de derivada, siendo:   f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

Interpretación geométrica:

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

           

Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:

            “La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando el segundo punto Q se acerca a P”.

            Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)), si la escribimos en forma punto-pendiente:

                       y – f(a) = m(x – a)

necesitamos saber el valor de la pendiente m.

Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de las pendientes de las secantes, con lo que:

                                                                                                                               

  

Punto Fijo         Punto Variable           Recta           Ángulo                    Pendiente

       A……………….P₁.........................sec nº 1….........α₁….........

       A……………….P₂.........................sec nº 2….........α₂….........

       ………………......................................................................................................

       ………………. …................................................................................................

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos P hacia A, tendremos:

   A…………….A……………......tangente...........α…....

            Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).

Interpretación física:

El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una serie de problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros):

-          la definición de velocidad

-          la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

-          el cálculo de los valores máximos y mínimos que alcanza una función.

            En estos y otros problemas similares de lo que se trata, en el fondo, es de estudiar, de medir y cuantificar, la variación de un determinado fenómeno, la rapidez con que se produce un cambio.

            La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de la rapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente:

es decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variable independiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa variación fuese uniforme en todo el intervalo.

La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta que une los puntos de coordenadas (x₀, f(x₀)) y (x₀ + h, f(x₀ + h)).

            El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una función en un intervalo determinado no quiere decir que en todo el intervalo se haya mantenido ese porcentaje de variación; de hecho, no suele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un punto determinado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado, el punto en que un proyectil alcanza su máxima altura, etc.

            Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea (T.V.I.) de la función en un punto determinado x₀. Para ello lo que haremos será estudiar su variación en intervalos [x₀, x] (o [x, x₀]) cada vez mas pequeños haciendo que x se aproxime a x₀. En el momento en que x coincida con x₀  la T.V.M. se convertirá en la tasa de variación instantánea que es lo que realmente nos interesa.

            Pero el problema es que en el cociente que define la T.V.M. al llegar a coincidir x con x₀ el denominador valdría 0. Por ello se define la tasa de variación instantánea como:

            Y este límite es lo que hemos llamado derivada de la función f en el punto x₀.

Por tanto la derivada puede interpretarse también como la tasa de variación instantánea, es decir, como la razón de cambio instantánea de una función.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Ecuación de la recta normal.

            Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es la pendiente de la recta tangente a la función (realmente a la gráfica de la función) en el punto de coordenadas , por lo que la ecuación de la recta tangente será:

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:   

La  normal  a  una  curva  en  un punto  es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Si la pendiente de la tangente es  la pendiente de la normal será       (ya que el producto de ambas debía ser -1) y la ecuación de la recta normal nos viene dada por:

                                              

Si f ´(a) = 0, la recta tangente será horizontal y de ecuación y = f(a). En ese caso la recta normal es vertical y de ecuación x = a.

Ejemplos.

1.      Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por    en el punto de abscisa  x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

En consecuencia,

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas , las ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente:   

Ecuación de la recta normal:     

2.        Dada la parábola de ecuación  hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función:  

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas  (4, -4).

2.- DERIVADAS LATERALES.

Como una derivada es un límite, para que exista, han de existir y coincidir los límites laterales que, en este caso, se llaman derivadas laterales de la función en el punto:

Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función  f en el punto  x = a  al siguiente límite, si es que existe:

=                 o     =

Derivada por la derecha:

Se llama derivada por la derecha de la función  f  en el punto  x = a  al siguiente límite, si es que existe:

=            o   =

Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por  la  izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales.

Si  las  derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene un punto anguloso.

Ejemplo:

Este es el caso de la función  que en el punto  x = 0 tiene por derivadas laterales 

 Derivabilidad en un intervalo.

Una  función  es derivable en un intervalo abierto  si es derivable en cada uno de sus puntos.

Una  función  es derivable en un intervalo cerrado   si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto  y derivable por la derecha en  y por la izquierda en 

Ejemplo

En la gráfica podemos observar que la función es derivable en el intervalo (n,p) pero no en el (m,p) ya que en este último intervalo contiene un punto anguloso

Relación entre continuidad y derivabilidad.

La  derivabilidad  es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, ya que existen funciones continuas que no son derivables.

La implicación de que una función  derivable es continua se demuestra en el siguiente

TEOREMA: "Si  una  función  es  derivable  en  un punto (derivada finita), entonces es continua en dicho punto"

 En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones continuas.

Demostración:

f será continua en a si:

Por ser derivable en a  , luego tiene que existir todo lo que interviene en ese límite, en concreto f(a).

Además, en caso de existir el límite, será:

por tanto existe  y además coincide con f(a), con lo que se cumplen las tres condiciones así que f es continua en a.

NOTA: Sin  embargo,  el  recíproco  de  este teorema no es cierto: Una función continua en un punto no es necesariamente derivable en dicho punto.

Ejemplo: Esto  podemos  verlo  fácilmente  estudiando la función    en el punto  x = 0.

En efecto, esta función es continua en  x = 0

Como  f(0) = 0, entonces f es continua en  x = 0.

Veamos ahora la derivabilidad en  x = 0:

Por tanto, la función   no es derivable en el punto  x = 0.

3.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS

Hasta  ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite.

Si una función f es derivable en un subconjunto  de su dominio D ( ), podemos definir una nueva función que asocie a cada elemento de  su derivada en ese punto:

Esta nueva función que asigna a cada elemento su derivada correspondiente recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA  y se representa por  f¨(x)

Ejemplo:

Halla la derivada de . A continuación, calcula la derivada en el punto x=2.

En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

Calcula la derivada de

 

Derivadas sucesivas

Ya hemos visto que la derivada de una función en un punto, si existe, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Si esto se generaliza a todos los puntos, hemos visto que obtenemos la función derivada f´(x).

Si a esta función (derivada primera) la volvemos a derivar, se obtiene otra función derivada, llamada derivada segunda ( ).

A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por   

Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n‑ésima, y se representarían por 

Otras formas de representar las derivadas son:

Ejemplo: Dada la función:  

Tenemos que.

.

 

Si continuamos con este proceso, obtendremos la derivada tercera, cuarta, quinta, etc.

Observen que, a partir de la cuarta derivada, las siguientes siempre van a ser cero, en este caso particular que hemos tomado como ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos la función , y calculemos las cuatro primeras derivadas:

                                 

A partir de aquí vuelven a repetirse las funciones derivadas, ya que la cuarta derivada, coincide con la función original.

Ejercicios de aplicación

1)      Hallar las cuatro primeras derivadas de

2)      Hallar las primeras tres derivadas de

3)      Hallar las primeras cinco derivadas de

4.- REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLA DE LA CADENA.

Obtener la expresión de la función derivada de una función dada implica calcular el límite que define a esa función derivada en un punto genérico usando la expresión que define a la función original; es decir, calcular

            Pero calcular ese límite cada vez que deseemos obtener la derivada de una función resulta bastante engorroso y, por ello, se obtienen (aunque no las demostraremos) unas expresiones o fórmulas generales que permiten obtener fácilmente la derivada de cualquier función. Esas fórmulas o reglas de derivación son las siguientes:

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: Una función constante es siempre derivable y su derivada vale siempre 0.

f(x) = k          f´ (x) = 0

2.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD: La función identidad es siempre derivable y su derivada vale siempre 1.

f(x) = x          f´ (x) = 1

3.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL: La función potencial de exponente natural es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = xⁿ          f´ (x) = n x^{n – 1}

4.- DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables la función suma f + g también es derivable y su derivada es la suma de las derivadas.

(f + g)´ (x) = f´ (x) + g´ (x)

5.- DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables la función producto f g también es derivable y su derivada vale

(f g)´ (x) = f´ (x) · g(x) + f(x) · g´ (x)

Como caso particular tenemos que si una función f es derivable el producto de un número k por la función f también es derivable y su derivada vale

(k · f)´ (x) = k  f´ (x)

En el caso de tres funciones sería:

(f g h)´ (x) = f´ (x)·g(x)·h(x) + f(x)·g´ (x)·h(x) + f(x)·g(x)·h´ (x)

y así sucesivamente.

6.- DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables, en los puntos en que la segunda sea distinta de cero la función cociente también es derivable y su derivada vale

Como caso particular tenemos que si una función g es derivable la función  es derivable en todos los puntos en que g sea distinta de cero y su derivada vale

7.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO: La función potencial de exponente entero negativo es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = x ^{– n}          f´ (x) = - n · x  ^{- n – 1}

8.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La función logarítmica f(x) = ln (x), que sólo está definida para los números positivos, es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = ln x          f´ (x) =

9.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE REAL: La función potencial de exponente real f(x) = x  ^a es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = x ^a          f´ (x) = a · x ^{a – 1}

Como caso particular tenemos la derivada de la raíz n-ésima (que se deduciría escribiéndola como potencia de exponente fraccionario y derivando):

Y para la raíz cuadrada:          

10.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a: La función logarítmica de base un número real a (positivo y distinto de 1), que está definida sólo para números positivos, es siempre derivable y su derivada vale

11.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a: La función exponencial de base un número real  a (positivo y distinto de 1) es siempre derivable y su derivada vale

Como caso particular podemos considerar la función exponencial de base el número e, que suele llamarse simplemente función exponencial, cuya derivada es

f(x) = e^x          f´ (x) = e^x

Ésta es la única función que coincide con su derivada.

12.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

a)      La función seno es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = sen x          f´ (x) = cos x

b)      La función coseno es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = cos x          f´ (x) = - sen x

c)      La función tangente es derivable siempre que exista y su derivada vale

f(x) = tg x          

13.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

a)      La función arco seno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale

f(x) = arc sen x          

b)      La función arco coseno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale

f(x) = arc cos x          

c)      La función arco tangente es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = arc tg x          

14.- DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. REGLA DE LA CADENA: Dadas dos funciones f y g, si la función f es derivable en un punto x y la función g es derivable en el punto f(x), la función compuesta gBf es derivable en el punto x y su derivada vale

(g◦f)´ (x) = g´ [f(x)] · f´ (x)

15.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN RECÍPROCA O INVERSA: Si una función f es inyectiva y derivable, con derivada distinta de cero, la función recíproca o inversa f  ^{- 1}  también es derivable y su derivada vale

16.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA: Es un método que permite calcular fácilmente muchas derivadas y que consiste en tomar logaritmos neperianos en los dos miembros de la función y derivar a continuación.

Ejemplo:         y = x ^{sen x}                                           

                        Ln (y) = ln (x ^{sen x})                 

                        Ln (y) = sen x · ln x              

17.- DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Es un método que se emplea cuando resulta difícil escribir la función a derivar en la forma y = f(x).

Ejemplo:         2x·y² + 3y = 5

                        2y² + 2y·y´·2x + 3y´  = 0

                       

ANEXO: Reglas de Derivación:

OPERACIONES	REGLA
SUMA Y DIFERENCIA
PRODUCTO
COCIENTE
PRODUCTO POR UN Nº
COMPOSICIÓN

                                                                          

            A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y diferencia:

            Suponiendo que las funciones f y g sean derivables, tenemos:

               

Derivada del producto de una constante por una función.

           

                                                                              

Derivadas de Funciones Elementales:

                                                                           

T I P O S	F  O  R  M  A  S
	S I M P L E S	COMPUESTAS
Constante:
F. Identidad:
Potencial
Logarítmico
Exponencial
Potencial-exponencial
Raíz Cuadrada
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Arco seno
Arco coseno
Arco tangente
Arco cotangente

EJERCICIOS RESUELTOS.

·   Dada la función    definida por

Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada.

§  Nuestra función f  es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida como una función cuadrática o como función lineal. Tanto una como la otra son funciones continuas y derivables en todo  y, por tanto, en el trozo en el que están definidas.

En consecuencia, la función f es continua y derivable en por serlo las funciones mediante las que está definida.

Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la función f en los puntos x = 0  y  x = 3.

§  En  x = 0:

Como en este punto hay un cambio de definición de la función, para estudiar la existencia de límite en él tendremos que calcular los límites laterales de la función:

Por otra parte,  y la función sería continua en el punto x = 0.

Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales

§  En  x = 3.

Continuidad: operamos de igual manera que en x = 0.

Por tanto, la función no es continua en  x = 3 (presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto finito) y, en consecuencia, será no derivable en él.

§  La derivada de la función f nos vendría dada por:

·         Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la función  definida por

       Para cualquier valor distinto de 2, la función f está definida como función cuadrática en cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro a. Como las funciones cuadráticas son continuas y derivables en todo , también lo serán en cualquier intervalo abierto de  y, por tanto, la función f será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en   - {2}.

Estudiemos la continuidad de f en el punto 2:

Para que sea continua tiene que existir límite en el punto 2 y, para ello, los límites laterales tienen que ser iguales:

Igualando estos límites laterales obtenemos:

       En consecuencia, la función sería continua en el punto 2 si   Para este valor del parámetro la función nos queda de la forma:

y su derivada, salvo en el punto 2, es:

Calculamos la derivada en el punto 2:

La función es derivable en el punto x = 2.

·         En resumen:

Si   la función es continua y derivable en  - {2}.

Si   la función es continua y derivable en .

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.      Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:

   en el punto  P(1,11).

     en el punto P(0,1)

      en el punto de abscisa  x = 0.

        en el punto de abscisa  x = 0.

2.      Escribid la ecuación de la recta tangente a la hipérbola   en el punto de abscisa  x = 3.

3.      ¿En  qué punto de la  gráfica de la  función    la tangente es              paralela a la bisectriz del primer cuadrante?

4.      Determinar los puntos de la curva   en los cuales la tangente es paralela a la recta 

5.      Buscar los puntos de la curva    que tienen la tangente formando un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

6.      Estudiar la derivabilidad de la función      Dibujar la gráfica.  

7.      Demostrar que la función    no puede tener tangente en el punto de abscisa

8.      Dada la función   hallar   Representar gráficamente los resultados.

9.      Estudia la derivabilidad de la función    en el intervalo 

10.  Estudia la derivabilidad de la función   en el intervalo 

11.  Halla la derivada de la función 

¿Es  continua en   ¿Es  derivable en     

12.  Calcula m y n para que la función   

sea derivable en todo .

13.  Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y, en caso de no sean derivables en algún punto, dar el valor de sus derivadas laterales:

                     

14.  Consideremos la función  Sabiendo que  g(x) es continua en 0, probar que f(x) es derivable en 0 y calcular su derivada. (No se puede suponer que g es derivable; puede no serlo). 

DERIVABILIDAD. EJERCICIOS

1.      Relaciona la gráfica de cada función dada en las figuras a)-d) con las gráficas de sus derivadas I-IV. Explica las razones de su elección.

   

2.      Para cada una de las siguientes funciones, traza la gráfica de su derivada.

3.      Determina la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a.      b.      c.

d.                      e.              f.

g.               h.       i.

4.      Encuentra  la ecuación de la recta que es tangente a la curva  en el origen.

5.      Si la recta tangente a  en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentra

6.      Dibuja una función para la cual

7.      Si  encuentra  y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (2,2)

8.      Para las siguientes funciones halla la derivada en el punto que se indica

9.      Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia en los puntos (4,3) y (-3,4)

DE