limite de una funsion

LÍMITE DE UNA FUNCIÖN EN  UN PUNTO.

Concepto.

1)Se pretende determinar a que valor de salida y se aproxima la función cuando las entradas se van aproximando a un valor determinado de x que designaremos por la letra a.

Ejemplo:

Se nos índica que el valor de salida de la función y=(x+3)/2  es 2 cuando el valor de la x se aproxima a 1.

2)Evidentemente al valor x=a nos podemos aproximar por la izquierda y la derecha . Surge de esta manera el concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha.

Una función tiene límite en x=a cuando existen los dos límites laterales y son iguales.

Ejemplo:

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

3)Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo:

Dada la función:

Hallar .

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Cálculo del límite en un punto

1)Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

2)Cálculo de límites en puntos fuera del dominio de la función.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), y  por tanto x no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, porque  podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

3) ¿Para qué valores de x es  más interesante el calculo de un limite?

            En valores de x situados en la frontera del dominio de la función.

                                   -Para determinar puntos de discontinuidad.

                                   -Para determinar asíntotas verticales.

            En valores de x que sean cambio de definición de funciones definidas a trozos.

                                   -Para determinar puntos de discontinuidad.

Ejemplo: Estudiemos los límites de esta función en los puntos arriba indicados.

a)Los diferentes ‘trozos’ de esta función no tienen ningún problema de dominio.

b)x= -1 y x=1 son los cambios de definición y en ellos calcularemos los límites laterales.

.

En x = -1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite  y la función es continua en x=1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.Además se puede constatar la presencia de una discontinuidad de salto en x=-1.

LÍMITES Y CONTINUIDAD.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si alguna de las tres condiciones anteriores de continuidad  no se cumple, la función es discontinua en a.

	La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.
	La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite.
	La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

Tipos de discontinuidad

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y éste es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La función no está definida en x = a.
2. La imagen no coincide con el límite.

Una discontinuidad es ‘de salto’si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

.A la diferencia en valor absoluto de los límites laterales se la llama salto.

De salto finito:La diferencia entre los límites laterales es un número real.	En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.
de salto infinito:La diferencia entre los límites laterales es infinito. Ejemplo : estudia la continuidad de	En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Continuidad en funciones :

Las funciones polinómicas, racionales, con raices, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función es continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de cambio de definición de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función es continua en .

Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de cambio de definición coinciden.

LÍMITES Y ASÍNTOTAS VERTICALES.. x=K es un punto que es frontera de dominio . Existe una asíntota vertical en x=k si se verifica

Ejemplo:Calcular las asíntotas  verticales de la función: